Báo cáo biện pháp Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó" cho học sinh Lớp 5

ập kế hoạch giải và giải bài toán (Theo quy trình hướng dẫn giải bài toán có lời văn) 
?
- Học sinh làm bài.
Số thứ nhất :
Ta có sơ đồ :
Số thứ hai :
?
33
Bài giải
	Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 
	8 - 5 = 3 (phần)
	Số thứ nhất là: 
	33 : 3 x 8 = 88
	Số thứ hai:
	88 – 33 = 55
	Đáp số: 88 và 55
 Ví dụ 2: Mẹ hơn con 25 tuổi. Tuổi con bằng tuổi mẹ. Tính tuổi mỗi người.
- Trong ví dụ này, sau khi xác định Bài toán cho biết gì? Bài toán cần tìm gì? giáo viên cần giúp học sinh hiểu rõ hơn:
+ Hai số cần tìm là gì? (Tuổi con và tuổi mẹ)
+ Hiệu hai số là gì? (25 tuổi)
+ Tỉ số của hai số là gì? ()
+ Tỉ số này cho em biết điều gì? (Tuổi con là 2 phần thì tuổi mẹ là 7 phần như thế)
Hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ biểu diễn các mối quan hệ.
	Căn cứ vào sơ đồ, hướng dẫn học sinh lập kế hoạch giải và giải bài toán (Theo quy trình hướng dẫn giải bài toán có lời văn)
Học sinh làm bài.
 Bài giải
Ta có sơ đồ :
Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:
7 - 2 = 5 (phần)
 Tuổi con là:
25 : 5 x 2 = 10 (tuổi)
Tuổi mẹ là:
10 + 25 = 35 tuổi
Đáp số: Con: 10 tuổi
	 Mẹ: 35 tuổi
	Tóm lại: Với những học sinh ở mức độ nhận biết, nhắc lại được kiến thức, kĩ năng đã học thì khả năng vận dụng kiến thức đã học vào quá trình luyện tập còn chưa nhanh. Vì thế, giáo viên cần chọn cho các em những bài toán cho ở dạng tường minh các yếu tố, yêu cầu các em thuộc các bước giải cơ bản ngắn gọn để vận dụng làm bài như sau :
+ Vẽ sơ đồ 
+ Tìm hiệu số phần bằng nhau
+ Tìm giá trị của một phần
+ Lần lượt tìm hai số
Mức độ 2:  Dành cho học sinh hiểu kiến thức, kĩ năng đã học.
	Với đối tượng học sinh này, giáo viên vẫn theo 4 bước hướng dẫn giải bài toán có lời văn. Song giáo viên cần yêu cầu học sinh :
- Nhận dạng toán. (Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó)
- Xác định rõ hai số cần tìm; xác định “hiệu ẩn” hay “tỉ số ẩn”, ý nghĩa của tỉ số.
 Ví dụ 3: Số thứ hai hơn số thứ nhất 60. Nếu số thứ nhất gấp lên 5 lần thì được số thứ hai. Tìm hai số đó. ( Bài toán “ẩn tỉ số"ở mức độ đơn giản)
+ Ở VD3: Học sinh phải xác định tỉ số ẩn trước khi vẽ sơ đồ.
Chẳng hạn ta hỏi: Nếu số thứ nhất gấp 5 lần lên thì được số thứ hai, nghĩa là gì? (nghĩa là tỉ số của hai số là tức là số thứ nhất là 1 phần thì số thứ hai là 5 phần như vậy).
 Ví dụ 4: 
	Lớp 5A có 35 học sinh và lớp 5B có 33 học sinh cùng tham gia trồng cây. Lớp 5A trồng nhiều hơn lớp 5B là 10 cây. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiều cây, biết rằng mỗi học sinh đều trồng số cây như nhau. 
	Đây là bài toán “ẩn tỉ số”, học sinh có thể lúng túng khi xác định tỉ số của hai số. GV cần giúp các em phân tích và hiểu được hai số cần tìm là số cây của lớp 5A và số cây của lớp 5B. Từ đó suy ra tỉ số giữa số cây của lớp 5A và 5B chính là tỉ số số học sinh của 2 lớp. Tức là tỉ số của 2 số là . Từ đó mới vẽ được sơ đồ hoặc lập luận thay sơ đồ và áp dụng các bước để giải bài toán. 
	Tóm lại: Ở mức độ học sinh đại trà chung, bài toán có thể cho dưới dạng ẩn hiệu hoặc ẩn tỉ số hay ẩn hai số cần tìm. Giáo viên cần giúp các em huy động vốn kiến thức sẵn có phân tích để:
	+ Chỉ rõ hai số phải tìm (số lớn là gì? số bé là gì?)
	+ Xác định rõ hiệu của hai số phải tìm (hoặc hiệu của hai số có liên quan đến số phải tìm).
	+ Xác định đúng tỉ số của hai số phải tìm (hoặc tỉ số của hai số có liên quan đến số phải tìm), biểu thị từng số đó thành số các phần tử bằng nhau tương ứng.
	Ngoài việc giúp học sinh nắm chắc quy trình giải dạng toán này, bước đầu còn giúp học sinh làm quen với cách lập luận chặt chẽ khi giải các bài tập nâng cao (ở mức độ đơn giản).
	Mức độ 3:  Dành cho học sinh biết vận dụng kiến thức, kĩ năng đã học để giải quyết những vấn đề những vấn đề mới.
	Với học sinh ở mức độ này không chỉ yêu cầu giải đúng bài tập mà còn yêu cầu các em tìm nhiều cách giải khác hay hơn bằng nhiều phương pháp giải khác nhau. Đây cũng chính là cơ hội để giúp các em phát triển năng lực môn toán. Hoặc từ bài tập cơ bản ta có thể mở rộng thành các bài toán khác có liên quan đến phân số hoặc dạng bài toán tính tuổi..., yêu cầu học sinh phải giải bài toán phụ để đưa về dạng cơ bản. Do vậy, các em phải đào sâu suy nghĩ, phân tích, tìm tòi cách giải. 
* Trường hợp ẩn hiệu, ẩn tỉ số bình thường
Ví dụ 5: Sau 7 năm nữa thì tuổi của An sẽ nhiều gấp 3 lần tuổi của An trước đây 5 năm. Tính tuổi của An hiện nay. 
 Đây là dạng ẩn hiệu, giáo viên cần hướng dẫn học sinh phân tích bài toán để chỉ rõ hiệu số:
Số bé là gì? (Tuổi An trước đây 5 năm)
Số lớn là gì? (Tuổi An sau đây 7 năm).
Hiệu của hai số là gì ? (Khoảng cách giữa tuổi An trước 5 năm và sau 7 năm nữa. Chính là : 7 + 5 = 12)
Bài yêu cầu tìm gì ? (Tuổi của An hiện nay)
	Giáo viên tiếp tục hướng dẫn học sinh lập kế hoạch giải bài toán.
Bài giải:
Tuổi của An sau 7 năm nữa sẽ nhiều hơn tuổi của An trước đây 5 năm là: 5 + 7 = 12 (tuổi)
Biểu thị số tuổi của An trước đây 5 năm là 1 phần thì tuổi của An sau 7 năm nữa là 3 phần.
 Ta có sơ đồ:
Trước đây 5 năm, tuổi của An là :
 	 12 : (3 - 1) = 6 tuổi.
Tuổi của An hiện nay là :
 	 6 + 5 = 11 (tuổi)
 Đáp số: 11 tuổi.
Ví dụ 6: Cho một số có chữ số hàng đơn vị là 0. Nếu xoá chữ số 0 đó ta được số mới. Biết số đã cho lớn hơn số mới 549. Tìm số đã cho. 
	Đây là dạng ẩn tỉ số và ẩn hai số cần tìm. Giáo viên cần hướng dẫn học sinh phân tích bài toán, để học sinh nhận ra dạng toán Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó. Tiếp tục phân tích để chỉ rõ các yếu tố liên quan:
Số bé là gì? (Là số đã cho sau khi xoá đi chữ số 0)
Số lớn là gì? (Là số đã cho ).
Hiệu của hai số là gì ? (549)
Bài yêu cầu tìm gì ? (Tìm số đã cho)
Nếu xoá chữ số 0 ở số đã cho ta được số mới, nghĩa là gì? (Nghĩa là số mới bằng số đã cho.)
Giáo viên tiếp tục hướng dẫn học sinh lập kế hoạch giải và làm bài.
 (Đáp số: 610)
	Ví dụ 7: Số cây trồng của khối Năm nhiều hơn khối Bốn là 360 cây. Nếu khối Năm trồng thêm được 30 cây nữa và khối Bốn trồng bớt đi 30 cây thì số cây của khối Năm sẽ nhiều gấp 4 lần số cây của khối Bốn. Tính số cây đã trồng lúc đầu của mỗi khối.
Giúp học sinh phân tích bài toán:
Bài toán cho biết “tỉ số mới” đó là tỉ số giữa số cây nếu khối Năm trồng thêm 30 cây và khối Bốn trồng bớt đi 30 cây nên phải xác định lại “hiệu mới” (Theo chú ý 3.b). Sau đó hướng dẫn học sinh cách giải bài tập theo các bước thông thường.
Cách 1: Sau khi xác định “hiệu mới” học sinh giải bằng “phương pháp sơ đồ đoạn thẳng” . (Theo cách giải thông thường - khuyến khích học sinh tự làm bài, rồi chữa bài)
Cách 2: Giáo viên khuyến khích học sinh vận dụng kiến thức đã học về tỉ số và dùng “phương pháp tỉ số” để giải bài tập. Cụ thể như sau:
Bài giải
Nếu khối Năm trồng thêm 30 cây và khối Bốn trồng bớt đi 30 cây thì lúc đó số cây trồng của khối Năm nhiều hơn khối Bốn là:
360 + (30 + 30) = 420 (cây)
Giả sử lúc này, Khối 4 trồng được 1 cây thì Khối 5 trồng được 4 cây như vậy Khối 5 trồng được nhiều hơn Khối 4 là:
4 - 1 = 3 (cây)
Tỉ số của 420 và 3 là:
420 : 3 = 140
Số cây trồng lúc đầu của Khối 4 là :
1 x 140 + 30 = 170 (cây)
Số cây trồng lúc đầu của Khối 5 là:
170 + 360 = 530 (cây)
Đáp số : Khối 4 : 170 cây; Khối 5 : 530 cây.
	Ví dụ 8: Thương của hai số bằng số lẻ nhỏ nhất có hai chữ số. Hiệu của hai số đó thì bằng số lượng số có ba chữ số. Tìm tích của hai số đó.
	Gặp bài này, học sinh sẽ lúng túng vì bài toán cho ẩn cả hai yếu tố “hiệu số” và “tỉ số”của hai số. Tỉ số lại cho dưới dạng“thương của hai số”. Giáo viên cần hướng dẫn các em chỉ rõ:
	- Thương (tức là tỉ số) của hai số là: 11 (số lẻ nhỏ nhất có hai chữ số)
	- Hiệu của hai số là 900 (do có 900 số có ba chữ số) 
Sau đó các em tiếp tục giải bài toán và tìm được: hai số là 90 và 990
- Tích hai số: 81000. 
* Trường hợp "Tìm ba, bốn... số khi biết hiệu và tỉ số của các số đó". 
Ví dụ 9: Cho 3 số tự nhiên, trong đó số thứ nhất bằng số thứ hai ; số thứ ba bằng trung bình cộng của 2 số kia. Tìm ba số đó, biết rằng số thứ nhất kém số thứ ba là 35 đơn vị.
 Phân tích: Bài toán cho biết hiệu giữa số thứ nhất với số thứ ba là 35 đơn vị. Ta phải chỉ ra được tỉ số giữa số thứ nhất với số thứ ba để tìm được hiệu số phần bằng nhau tương ứng. 
 Bài giải
Cách 1: Vì 	
Biểu thị số thứ nhất là 4 phần bằng nhau thì số thứ 2 là 6 phần như thế khi đó số thứ 3 được biểu thị là:
 (4 + 6) : 2 = 5 (phần)
Ta có sơ đồ:
Số thứ nhất là : 
35 : (5 - 4) x 4 = 140
Số thứ hai là: 
35 : (5 - 4) x 6 = 210
(Hoặc 140 : 2 x 3 = 210)
Số thứ ba là :
 (140 + 210) : 2 = 175
 (Hoặc 140 + 35 = 175)
Đáp số : 140 ; 210 ; 175
	Cách 2 : Giúp học sinh tìm hiểu và giải bài toán bằng phương pháp ‘‘Dùng đơn vị quy ước’’
Bài giải
 Coi số thứ nhất là 1 đơn vị thì số thứ hai là đơn vị khi đó số thứ 3 là:
	(đơn vị)
Số thứ 3 lớn hơn số thứ nhất là: 
 (đơn vị)
 Theo bài ra, số thứ ba lớn hơn số thứ nhất là 35 . Do đó số thứ nhất phải 	tìm là: 
 Số thứ hai phải tìm là: 
	140 : = 210
 Số thứ ba phải tìm là: 
 140 + 35 = 175 
 Đáp số: 140 ; 210 ; 175
Bài toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” ta cũng có thể hướng dẫn học sinh giải bằng phương pháp khác: “Phương pháp khử” hoặc “phương pháp thay thế”
	Ví dụ 10: Điểm kiểm tra Toán cuối năm của Linh hơn Quang 1 điểm và bằng điểm của Anh. Điểm của Quang bằng điểm của Anh. Hãy tính điểm Toán của mỗi người.
	Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán:
Bài tập cho biết hiệu hai số (Điểm của Linh và Quang) nhưng lại cho biết tỉ số điểm giữa Linh và Anh; giữa Quang và Anh. Vậy cần phải tìm tỉ số điểm của Linh và Quang(tương ứng với hiệu hai số) rồi giải bài toán theo mẫu (Dùng Phương pháp khử)
Bài giải
 Tỉ số điểm của Linh so với điểm của Quang là:
 	 Ta có sơ đồ:
Hiệu số phần bằng nhau là:
10 - 9 = 1 (phần)
Điểm của Linh là:
1 x 10 = 10 (điểm)
Điểm của Quang là:
 1 x 9 = 9 (điểm)
Điểm của Anh là :
 (điểm)
 Đáp số :10 điểm; 9 điểm; 8 điểm
	Đây là dạng mở rộng của bài tập cơ bản mà tỉ số bài tập cho cũng ở dạng phức tạp hơn. Song bài tập cũng không quá khó đối với học sinh giỏi. Các em phải xác định đúng yêu cầu của bài, gắn tỉ số với hiệu số của hai số tương ứng để vẽ đúng sơ đồ và giải theo phương pháp sơ đồ đoạn thẳng hoặc kết hợp với phương pháp khử.
	* Trường hợp liên quan đến phân số
	Có một số bài toán dạng Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó liên quan đến phân số. Gặp dạng toán này, học sinh rất lúng túng, khó xác định được các yếu tố “hai số cần tìm” ; “hiệu số” hoặc “tỉ số”, giáo viên cần hướng dẫn học sinh phân tích bài toán để nhận ra dạng toán và chỉ rõ các yếu tố cần thiết. Sau đó, ta tiếp tục hướng dẫn học sinh lập kế hoạch giải.
	Ví dụ 11:: Cho phân số . Hãy tìm một số sao cho khi đem tử số và mẫu số của phân số đã cho trừ đi số đó ta được phân số tối giản .
	Phân tích: Ta thấy mẫu số hơn tử số là 25 ( 98 - 73 = 25). Lúc này ta đã dùng mẫu số làm số lớn (số bị trừ), tử số làm số bé (số trừ), mà khi cùng bớt ở cả số bị trừ và số trừ một số như nhau (theo chú ý 3.a) thì hiệu số không thay đổi. Như vậy sau khi cùng bớt, mẫu số vẫn hơn tử số 25 đơn vị. Phân số tức là tử số chiếm 1 phần, mẫu số chiếm 6 phần. Bài toán trở về dạng bài toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”.
Bài giải	
 Mẫu số hơn tử số là: 
 98 - 73 = 25
	Ta có sơ đồ:
Khi cùng bớt ở cả tử số và mẫu số một số đơn vị như nhau thì mẫu số vẫn hơn tử số 25 đơn vị. Hiệu số phần bằng nhau là: 
 6 - 1 = 5 (phần)
Tử số của phân số mới là: 
 25 : 5 = 5 
Mẫu số của phân số mới là:
 5 x 6 = 30
Số phải tìm là:
 73 - 5 = 68 (hoặc 98 - 30 = 68)
 Đáp số: 68 
	Ví dụ 12: Cho phân số . Hãy tìm một số sao cho khi đem tử số và mẫu số của phân số đã cho cộng với số đó ta được phân số tối giản .
	Phân tích: Ta thấy mẫu số hơn tử số là 70 ( 99 - 29 = 70). Lúc này ta đã dùng mẫu số làm số lớn (số bị trừ), tử số làm số bé (số trừ), mà khi cùng cùng thêm ở cả số bị trừ và số trừ một số như nhau (theo chú ý 3.a) thì hiệu số không thay đổi. Như vậy sau khi thêm, mẫu số vẫn hơn tử số 70 đơn vị. Phân số tức là tử số chiếm 1 phần, mẫu số chiếm 3 phần. Bài toán trở về dạng bài toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó”.
Bài giải	
Mẫu số hơn tử số là: 
 99 - 29 = 70
	Ta có sơ đồ:
Khi cùng thêm vào tử số và mẫu số một số đơn vị như nhau thì mẫu số vẫn hơn tử số 70 đơn vị. Hiệu số phần bằng nhau giữa mẫu số và tử số là: 
 3 - 1 = 2 (phần)
Tử số của phân số mới là: 
 70 : 2 = 35 
Mẫu số của phân số mới là:
 35 x 3 = 105
Số phải tìm là: 
	35 - 29 = 6
 Đáp số: 6 
Qua ví dụ 13 và ví dụ 14 dạng “cùng thêm” hoặc “cùng bớt” ở tử số và mẫu số một số đơn vị như nhau (theo chú ý 3.a: hiệu số giữa tử số và mẫu số vẫn không thay đổi), cũng như các dạng khác, khi dạy bài toán dạng Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó liên quan đến phân số, ta cần lưu ý học sinh cách xác định rõ các yếu tố: 
- Hai số cần tìm chính là tử số và mẫu số của phân số cần tìm.
- Hiệu là hiệu giữa mẫu số và tử số (Nếu mẫu số lớn hơn tử số). Hoặc hiệu là hiệu giữa tử số và mẫu số (Nếu tử số lớn hơn mẫu số).
- Tỉ số giữa tử số và mẫu số của phân số mới chính là phân số rút gọn (tối giản). 	Ngoài ra, giáo viên cần giúp học sinh rút ra cách giải chung. Cụ thể như sau:
Bước 1: Xác định đúng hiệu giữa mẫu số và tử số.
Bước 2: Chỉ rõ: hiệu giữa mẫu số và tử số vẫn không thay đổi.
Bước 3: Xác định tỉ số giữa mẫu số và tử số của phân số mới.
Bước 4: Vẽ sơ đồ, tìm tử số mới, mẫu số mới, lập phân số mới và giản ước để được phân số mới đã cho.
Bước 5: Tìm số cần tìm. 
* Trường hợp liên quan đến các bài toán về tính tuổi 
Khi các em đã nắm chắc dạng cơ bản, giáo viên tiếp tục hướng dẫn các em vận dụng bài toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” để giải các bài toán về tính tuổi dạng Cho biết hiệu số tuổi và tỉ số tuổi của A và B. 
Ví dụ 13: Hiện nay em 5 tuổi, anh 19 tuổi. Hỏi mấy năm nữa tuổi anh gấp 3 lần tuổi em?
	GV cần giúp học sinh xác định đúng hai số cần tìm, hiệu của hai số (19-5 = 14) và tỉ số của hai số là rồi giải bài toán theo mẫu.
Bài giải
Hiệu số tuổi của hai anh em là:
 19 - 5 = 14 (tuổi)
	Do hiệu số tuổi của hai anh em không thay đổi theo thời gian, nên khi tuổi anh gấp 3 lần tuổi em thì anh vẫn hơn em 14 tuổi. Lúc đó ta có sơ đồ:
Vậy: Tuổi của em khi tuổi anh gấp 3 lần tuổi em là:
 14 : ( 3 - 1) = 7 (tuổi)
	Do hiện nay em 5 tuổi nên còn 2 năm nữa ( vì 7 - 2 = 5) thì tuổi anh gấp 3 lần tuổi em. 
 Đáp số: 2 năm
Đối với dạng toán này, giáo viên hướng dẫn học sinh rút ra cách giải như sau:
1- Dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu diễn tỉ số tuổi của hai người ở thời điểm đã cho.
2- Nhận xét: Hiệu số tuổi của hai người bằng hiệu số phần bằng nhau trên sơ đồ đoạn thẳng. (Lưu ý: Hiệu số tuổi của hai người không thay đổi theo thời gian)
3- Tìm số tuổi ứng với một phần bằng nhau trên sơ đồ.
4- Tìm số tuổi của mỗi người.
	Tóm lại: Muốn Nâng cao hiệu quả dạy giải bài toán về “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” cho học sinh lớp 5, khi hướng dẫn học sinh giải bài toán, giáo viên cần giúp các em nắm chắc một số kiến thức cơ bản:
	- Tỉ số của hai số được nêu dưới những dạng thức sau:
	+ Số này gấp mấy lần số kia.
	+ Số này bằng mấy phần số kia.
	+ Thương của hai số phải tìm, hoặc thương của hai số có liên quan đến số phải tìm.
	+ Phân số được coi là thương của số bị chia và số chia.
	+ Tỉ số của hai số.
	+ Tỉ số phần trăm của hai số (Lớp 4 chưa học - chỉ mở rộng hoặc đưa về dạng phân số. Ví dụ : Tỉ số của hai số là ).
	- Và hiệu số của hai số cũng được nêu dưới nhiều hình thức khác nhau. Có thể các em phải giải bài toán phụ mới xác định được. Với đối tượng học sinh khá giỏi, đòi hỏi giáo viên phải giúp các em có khả năng phân tích, tổng hợp, xác định rõ các yếu tố, phối hợp tất cả các phương pháp để giải.
Trên đây là một số ví dụ, qua đó tôi nhận thấy :
	- Chỉ với dạng bài “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” ta đã có thể mở rộng ra thành nhiều kiểu bài khác nhau, với những dạng “hiệu”, “tỉ số” khác nhau.
	- Tuỳ mức độ học sinh mà giáo viên giao cho những mức độ bài khác nhau.
	- Học sinh tuỳ khả năng mà vận dụng những kiến thức đã học để tìm ra một hay nhiều cách giải khác nhau cho cùng một bài toán. 
	- Sau khi học xong cần giúp các em rút ra phương pháp giải chung như sau:
	+ Đọc kĩ đề, xác định rõ các yếu tố “hai số cần tìm”, “hiệu số” và “tỉ số”.
	+ Tóm tắt đề toán bằng sơ đồ.
	+ Tìm hiệu số phần bằng nhau.
	+ Tìm giá trị 1 phần: 
 Giá trị 1 phần = Hiệu số : Hiệu số phần bằng nhau.
	+ Tìm từng số cần tìm: 
Cách 1: Số bé = Giá trị 1 phần số phần của số bé. - Tìm tiếp số lớn
Cách 2: Số lớn = Giá trị 1 phần số phần của số lớn. - Tìm tiếp số bé
3. Kết quả đạt được.
a. Tỉ lệ HS hoàn thành tốt qua các bài kiểm tra ở các lớp cao hơn.
b. Kĩ năng thực hành, thảo luận nhóm, trình bày ý kiến cá nhân... của học sinh cũng cao hơn.
c. Ở các tôi, hứng thú học tập của HS cũng cao hơn rõ rệt. Các em hoạt động tích cực hơn và chủ động trong quá trình chiếm lĩnh tri thức.
Kết quả cụ thể như sau:
Thời gian
Lớp 
Sĩ số
Hoàn thành tốt
Hoàn thành
Chưa hoàn thành
SL
TL %
SL
TL %
SL
TL %
Cuối học kì I
5D
47
29
61,7
18
38,3
0
0
Những kết quả trên đã chứng tỏ quá trình thực nghiệm đã khẳng định được giả thuyết khoa học mà sáng kiến kinh nghiệm đã đề ra. Việc nắm vững cấu trúc chương trình sách giáo khoa, phối hợp các phương pháp dạy học tích cực, cộng với sự nhiệt tình của giáo viên sẽ đem lại hiệu quả cao trong giờ học.
PHẦN III: KẾT LUẬN 
Qua quá trình nghiên cứu và thực nghiệm, tôi rút ra một số bài học trong dạy học toán nói chung và dạy dạng bài “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” nói riếng cho học sinh như sau:
- Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung chương trình cũng như nội dung từng bài để đặt ra mục tiêu, phương pháp và hình thức tổ chức dạy học phù hợp cho từng tiết dạy.
- Giúp học sinh hình thành thói quen: phân tích đề, nắm chắc yêu cầu của đề, xác định rõ ràng các yếu tố “hai số cần tìm”, “hiệu số”, “tỉ số” và nắm chắc phương pháp chung để giải dạng toán.
- Với những bài mở rộng và nâng cao dành cho học sinh hoàn thành tốt, ngoài cách giải theo dạng cơ bản, giáo viên cần khuyến khích các em suy nghĩ, tìm tòi nhiều cách giải khác hay hơn cho cùng một bài để phát triển năng lực môn Toán cho các em. Học sinh cần được làm quen với việc lập luận chặt chẽ khi làm bài. Ta cần chọn ra những bài toán giải theo phương pháp chung, tương tự như nhau, để đưa vào từng nhóm, từng loại bài, theo mức độ từ dễ đến khó. Sau khi làm quen với mỗi loại bài nâng cao trong dạng bài, giáo viên cần giúp các em khái quát kiến thức, những điều cần ghi nhớ và cách giải với từng loại bài đó. 
- Đặc biệt, giáo viên cần phân loại và nắm chắc từng đối tượng học sinh trong lớp để có biện pháp cung cấp kiến thức và rèn kĩ năng cho phù hợp. Nhà giáo không phải là người nhồi nhét kiến thức mà phải là người khơi dậy ngọn lửa cho tâm hồn. Vì vậy, ta cần thường xuyên động viên khuyến khích, tạo không khí thi đua học tập, tạo niềm vui và say mê trong học toán cho các em. Đó chính là ta đã khơi nguồn, tạo hướng nâng cao và phát triển cho học sinh.
Trên đây là những ý kiến nhỏ của riêng tôi về “Nâng cao hiệu quả dạy-học dạng toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó” cho học sinh lớp 5 . Tuy tôi đã đầu tư nhiều thời gian, đúc kinh nghiệm nhiều năm dạy dỗ các em nhưng vì khả năng tìm tòi, phân tích tổng hợp của tôi còn nhiều hạn chế nên chưa bao quát hết được mọi vấn đề. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng chí cán bộ giáo viên để cho nội dung sáng kiến của tôi được đầy đủ hơn. Cũng qua đó giúp tôi vững vàng hơn trong quá trình đổi mới phương pháp giảng dạy, góp phần nâng cao chất lượng dạy - học. Tôi xin chân trọng cảm ơn. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phương pháp dạy học môn Toán – Nguyễn Bá Kim – Vũ Dương Thuỵ.
2. Phương pháp dạy học môn Toán ở Tiểu học - Đỗ Trung Hiệu, Đỗ Đình Hoan, Vũ Dương Thuỵ, Vũ Quốc Chung.
3. Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên theo chu kì ( 2003-2007)
4. Các phương pháp giải Toán ở Tiểu học- Nhà xuất bản giáo dục
5. Các bài Toán điển hình lớp 4 - 5 - Nhà xuất bản giáo dục
6. 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Nhà xuất bản giáo dục
7. Các tạp chí “Thế giới trong ta”, “Giáo dục Tiểu học”, “Toán tuổi thơ”.